1.已知：如图38所示，在⨀O中，AB为直径，CD为⨀O的任意一条弦（不是直径的弦）.求证：AB>CD.
证明：连接OC,OD，在△OCD中，OC+OD>CD,即AB>CD.
2.解：（1）∵OA,OB是⨀O的半径，∴OA=OB=50mm，又∵AB=50mm，∴OA= OB =AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60〬
（2）过点O作OC⊥AB,垂足为点C，如图39所示，则∠OCA=90〬，由垂径定理得，AC=CB=1/2AB,∵AB=50mm，∴AC= 25mm.在Rt△OAC中，OC²=OA²-AC²=50²-25²=25²×3, ∴OC= √(25²×3) = 25√3 (mm),即点O到AB的距离是25√3mm.
3. 解：∵⌒AB =⌒AC , ∴AB=AC, ∴∠B=∠C=75〬，∴∠A=180〬-75〬-75〬=30〬.即∠A的度数是30〬.
4. 解：⌒AB =⌒CD ,证明如下：∵AD=BC,∴⌒AD =⌒BC ,∴⌒AD +⌒AC =⌒BC +⌒AC ,即⌒DC = ⌒AB .
5. 解：如图40所示，连接OC . ∵ OA⊥BC , ∴ =⌒AB , ∴∠COA=∠AOB , ∵ ∠AOB =50〬，∴∠COA=50〬，∴∠ADC=1/2∠AOC=1/2×50〬=25〬，即∠ADC=25〬.
6.解：第二个（即中间的）工件是合格的，理由是90〬的圆周角所对的弦是直径.
7.已知：如图41所示，四边形ABCD为⨀O内接平行四边形，求证：◇ABCD为矩形.
证明：四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C.又∵四边形ABCD内接于⨀O，∴∠A+∠C=180〬，∴∠A=∠C=90〬，∴ ◇ABCD为矩形.
8.解：如图42所示，连接OC，设⨀O的半径为r，∵M为CD的中点，∴OM⊥CD，∴CM=1/2CD=1/2×4=2cm. 在Rt△CMO中，OC²-OM²=CM²，即r²-(6-r)²=2², r²-(36-12r+ r²)=4，12r=40，r=10/3，∴⨀O的半径为10/3 cm.
9.证明：如图43所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P，由垂径定理可知PA=PB，PC=PD，∴PA-PC=PB-PD，即AC=BD.
10.解：分两种情况讨论.①当AB、CD在点O的同侧时，如图44（1）所示，过点O作EF⊥AB，垂足为P₁，交⨀O于点E、F，交CD于P₂. ∵CD//AB，∴CD⊥EF，由垂径定理可知AP₁=BP₁=1/2AB=24×1/2=12(cm). CP₂=DP₂=1/2CD=5(cm). 连接OA，OC. 在Rt△AOP₁中，P₁O²=OA²-AP₁²，OA=13cm，AP₁=12cm，∴P₁O ²=13²-12²=25 ，∴P₁O=5cm, 同理，OP₂=√(OC^2-CP₂²)=√(〖13〗^2-5^2 )=12(cm), ∴P₁P₂=OP₂ - OP₁=12 -5=7（cm）. ②当AB、CD在点O的两侧时，如图44（2）所示，与AB、CD在点O的同侧时的解法类似，可得OP₁=5cm , OP₂=12cm, ∴P₁P₂= OP₁+ OP₂=5+12=17(cm) , 即AB与CD的距离为7cm或17cm.
11.证明：∵AB//CD，⌒AC =⌒BD . 又∵MN是AB的垂直平分线，则有,MN过圆心O，是直径，∴⌒AM =⌒BM , ⌒AM -⌒AC =⌒BM -⌒BD ，即⌒CM =⌒DM , ∴MN垂直平分CD.
12.∵OC⊥AB,AB=300，∴由垂径定理，可知AD=DB=1/2AB=150，又∵CD=45，∴OD=OC-CD=OC-45，又∵OA,OC均为⨀O的半径，∴OA=OC，在Rt△AOD中，OA²=OD²+AD²，∴OC²=(OC-45)²+150²，∴OC=272.5（m）. 答：这段弯路的半径是272.5m.
13.证明：连接OC,∵C是⌒AB 的中点，∴⌒AC =⌒BC ,∴∠AOC=∠BOC,又∵∠AOB=120〬, ∴∠AOC=∠BOC=1/2×120〬=60〬. 又∵OA=OC=OB, ∴△AOC与△BOC均是等边三角形，∴OA=AC=OC, BO=OC=BC, ∴OA=AC=BC=OB, ∴四边形OACB是菱形.
14.解：△ABC是等边三角形，证明如下：
∵∠APC=∠CPB=60〬，∴∠BAC=∠ABC=60〬，∵∠ACB=180〬-∠BAC-∠ABC = 180〬-60〬-60〬=60〬, ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC, ∴AB=BC=CA,∴△ABC是等边三角形.
15.解：OM<ON. 理由如下：如图45所示，连接OC,OA,则OA=OC. ∵ON⊥CD,OM⊥AB,∴CN=1/2CD,AM=1/2 AB,又∵CD<AB, ∴CN<AM, ∴CN²<AM².在Rt△OCN和Rt△OAM中，OM²=OA²-AM², ON²=OC²-CN²,∴OM²<ON²,∴OM<ON.
16.解：如图46所示，过点A作AB⊥ON,垂足为B,因为∠QON=30〬，OA=200m，∠OBA=90〬，所以AB=1/2OA=1/2×200=100(m),因为100m<200m，所以居民楼会受到噪音的影响.在MN上找到点C，使AC=200m，又OA=200m，则火车在铁路MN上沿ON方向行驶到点O处时，居民楼开始受到火车噪音的影响.由勾股定理，得OB²=OA²-AB²=200²-100²=30000，所以OB=100√3（m）,同理BC= 100√3（m），所以OC=OB+BC=100√3+100√3=200√3（m），又（200√3÷1000）÷72×3600=10√3≈17.3（s），所以居民楼受噪音影响的时间约为17.3s.
17.解：同弧所对的圆外角小于相应地圆周角，因此只要航行中保持∠XPY<∠XZY，就能保证点P在⌒XY 所在的圆外，也就保证了船只不进入浅滩.
1.解：（1）点P在⨀O内. （2）点P在⨀O上. （3）点P在⨀O外.
2.提示：（1）相离. （2）相切. （3）相交.
3.解：（1）因为VU是⨀T的切线，U为切点，所以UT ⊥UV，所以∠VUT=90〬.在Rt△UVT中，∠UVT=90〬,UV=28cm， TU=25cm，所以VT²=UV²+TU²,即VT²=28²+25², 所以VT=√(〖28〗^2+〖25〗^2 )=√1409(cm).
（2）因为VU与VW均是⨀T的切线，所以∠UVT=∠TVW，∠TWV=90〬. 又因为∠UVW=60 〬，所以∠TVW = 1/2×60 〬=30 〬.在Rt△TVW中，∠TWV=90〬， ∠TVW =30 ，TW=25cm，所以TV=2WT=2×25=50（cm）.
4.证明：连接OC. ∵OA=OB, ∴△OAB为等腰三角形，又∵CA=CB，∴OC⊥AB. ∵AB经过⨀O的半径OC的外端C，并且垂直于半径OC，∴AB是⨀O的切线.
5.证明：连接OP，因为AB是小圆O的切线，P为切点，所以OP⊥AB，又AB是大圆O的弦，所以由垂径定理可知AP=PB.
6.解：因为PA，PB是⨀O的切线，所以PA=PB，∠ PAB=∠PBA.又由题意知OA ⊥ PA，∠OAB=25〬,所以∠PAB=90〬-25〬=65〬.所以∠P=180〬-2∠PAB=180〬-65〬×2=50〬.
7.解：半径为4cm的圆可以做两个，半径为3cm的圆只能作一个，不能作出同时经过A,B两点，且半径为2cm的圆.
8.提示：锐角三角形的外心在这个三角形的内部；直角三角形的外心在这个直角三角形的斜边的中点；钝角三角形的外心在这个三角形的外部.
9.提示：可以在车轮上任意连接两点，作出它的中垂线，重复一次，则这两条中垂线的交点即为圆心，从而可确定它的半径.
10.解：设圆心为O，如图48所示，连接OW,OX,因为YW,YX均是⨀O的切线，W,X均为切点，所以OW⊥WY,OX⊥XY. 又因为XY⊥WY,所以∠OWY=∠OXY=∠WYX = 90 〬,所以四边形OXYW是矩形.又因为OW=OX,所以四边形OXYW是正方形，所以OW=WY=0.65m. 答：这个油桶的底面半径是哦0.65m.
11.解：连接OE,OG,则OE ⊥AB,OG⊥CD,又因为AB//CD,所以点E,O,G在同一直线上.由AB,CD,BC均是⨀O 的切线，可得∠BOC=90〬. 在Rt△BOC中，OB=6cm，CO=8cm，所以BC=√(OB^2+OC^2 )=√(6^2+8^2 )=10(cm). 答：BC的长是10cm.
12.证明：连接OC, ∵CD为⨀O的切线，C为切点，∴OC ⊥CD. 又∵AD⊥CD∴AD// OC , ∴∠ DAC= ∠OCA. ∵OA=OC, ∴∠OAC= ∠OCA. ∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB.
13.解：连接O₁B，O₁O₂，O₂A，O₂B. ∵两个圆是等圆，而⨀O ₁经过O ₂，故⨀O ₂过O₁, ∴ O₁A=O₂A=O₁B=O ₂B=O₁O ₂，∴ 四边形AO ₁BO ₂是菱形，又O₁O ₂= O₁A，∴△O₁A O ₂是等边三角形，∴∠O₁A O ₂=60〬. ∵AB是菱形AO₁BO ₂的对角线，∴∠O₁AB=1/2∠O₁A O ₂=1/2×60〬=30〬.
14.解：如图49所示，连接OA,OB,OC,设 ⨀O 与AB,BC,CA的切点分别为D,E,F，连接OD,OE,OF，则OD ⊥AB,OE ⊥BC,OF ⊥AC,∴ S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC =1/2AB•OD +1/2 BC•OE+ 1/2 AC•OF=1/2 AB•r+ 1/2 BC•r+ 1/2 AC•r= 1/2 r(AB+BC+AC)=1/2 r(a+b+c) , 又∵S△ABC= 1/2AC•BC=1/2 ab,∴1/2 r(a+b+c)=1/2ab, ∴ r=ab/(a+b+c).
1.解：填表如下：
2.解：如图52所示，连接AC，∵∠D=90〬, ∴ AC为直径.在Rt△ACD中，AC=√(a^2+a^2 )=√2 a,∴ 半径至少为√2/2a.
3. 解：正多边形都是轴对称图形.当正多边形的边数为奇数时，对称轴条数与正多边形边数相等，是正多边形顶点与对边中点所在的直线；当正多边形的边数为偶数时，它的对称轴条数也与边数相等，分别是对边中点所在的直线和相对顶点所在的直线.正多边形不都是中心对称图形.当正多边形边数为偶数时，它是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心；当正多边形的边数为奇数时，它不是中心对称图形.
4. 证明：∵ ABCDE为正五边形，∴ AB=BC=AE , ∠A= ∠B= ∠C. 又∵ L,H,I分别为AE,AB,BC边中点，∴ AL=AH=BH=BI=IC, ∴ △AHL≌△BIH≌△CJI, ∴ HL=HI=IJ . ∠AHL=∠BHI=∠BIH=∠CIJ, ∠LHI=180〬-∠AHL-∠BHI, ∠HIJ=180〬-∠BIH-CIJ, ∴∠LHI=∠HIJ.同理：LK=KJ=IJ=HI=HL, ∠HLK=∠LKJ=∠KJI=∠LHI=∠HIJ. ∴五边形HIJKL是正五边形.
5. 解：如图53所示，连接BF,过点A作AG ⊥ BF ,垂足为点G, 因为∠BAF=120〬，所以∠BAG=60〬，所以∠ABG=∠30〬.在Rt△ABG中，AB=12cm，∠AGB=90〬，∠ABG=30〬，所以AG=1/2AB=1/2×12=6（cm）.由勾股定理，得BG= √(AB^2-AG^2 ) =√(〖12〗^2-6^2 )=6√3(mm),即b=BF=2BG=2×6√3=12√3(mm).答：扳手张开的开口b至少要12√3mm.
6. 解：设剪去的小直角三角形的两直角边长分别为xcm，xcm,由题意可知（4-2x）²=x²+x².解得x₁=4+2√2，x₂=4-2√2.因为x<4，所以x=4+2√2不符合题意，舍去，所以x=4-2√2.所以4-2x=4-2(4-2√2)=(4√2-4)cm,即这个正八边形的边长是(4√2-4) （cm），S正八边形=S正方形-4S小三角形=4²-4×1/2•x•x=16-2(4-2√2)²= 16 -2 (24-16√2) =（32√2-32） cm^2. 答：这个正八边形的边长为(4√2-4)cm，面积是（32√2-32）cm².
7. 解：①当用48cm长的篱笆围成一个正三角形时，边长为48÷3=16（m）,此时 S△=1/2×16×8√3=64√3（m²）.
②当围成一个正方形时，边长为48÷4=12（m），此时S正方形=12×12=144（m²）.
③当围成一个正六边形时，边长为48 ÷6=8 （m),此时S正六边形=6×1/2 ×8 ×4√3=96√3 （m^2 ）.
④当围成一个圆时，圆的半径为48/2π = 24/π （m）,此时，S圆=π（24/π）^2=576/π （m^2 ）.因为64√3<144<96√3<576/π，所以S圆最大. 答：用48cm长的篱笆围成一个圆形的绿化场地面积最大.
8. 提示：圆外切正三角形的边长为2√3R；圆外切正四边形的边长为2R；圆外切正六边形的边长为(2√3)/3R.
1. （1）6[提示：2.5π= (75π×R)/180，R=6.]
（2）150〬[提示：240π=1/2 × 20π×R,R=24，20π= (nπ×24)/180,n=150.]
（3）4/3[提示：2πr= (120π×4)/180,r=4/3.]
2. 解：这条传送带的长是一个圆的周长与两条平行线段的长度的和，C圆=πd=3π(m),∴ 传送带的长是3π+10×2=3π+20（m）.
3. 解：(2 × 3.14 × 6370 × 1000)/(360 × 60)≈1852（m）.
答：1n mile 约等于1852米.
4. 解：解法1：设图中阴影部分的面积为x，空白部分的面积为y，由图形的对称性可知
解得x=1/2 πa²-a².解法2 :S阴影= a²-2[a^2-π( a/2)²] =(π/2-1)a².解法3：S阴影=4×π/2×（a/2）²-a²=(π/2-1)a².
5. 提示：当沿BC边所在直线旋转时，得到一个底面半径为3，高为4的圆锥，它的全面积为24π.当沿AC边所在直线旋转时，得到一个底面半径为4，高为3的圆锥，它的全面积为36π.当沿AB边所在直线旋转时，得到两个圆锥的组合体，它的全面积为16.8π.
6. 解：3000+2×(90π×1000)/180≈6142（mm）.答：图中管道的展直长度约为6142mm.
7. 解：由题意可知它能喷灌的草坪是一个形如圆心角为220〬，半径为20m的扇形，其面积S=(220×π×20²)/360=2200/9 πm².
8. 解：由题意可知S贴纸=S扇形BAC-S扇形DAE=(120π•AB^2)/360- (120π•AD^2)/360 =1/3 π(AB²-AD² )=1/3 π[30²-(30-20)²]=800/3 π(cm^2 ). 答：贴纸部分的面积是800/3 πcm^2.
9. 解：由圆锥的侧面展开图（扇形）的面积公式S=1/2lR可知所求面积为1/2×32×7= 112（m^2).答：所需油毡的面积至少为112m².
10. 解：连接AO,BC,因为∠BAC=90〬，所以BC是⨀O的直径，则BC=1m.因为AB =AC ,所以∠ABC=∠ACB=45〬，∠AOC=90〬，OB=OC可知OA=OC= 1/2 BC= 0.5m,由勾股定理，得AC=√(OA^2+OC^2 )=√(〖0.5〗^2+〖0.5〗^2 )=√2/2(m),所以l⌒BC = (90×π×√2/2)/180 =√2/4 π(m) ,S扇形BAC=(90π×(√2/2)²)/360=π/8(m²),所以被剪掉的部分的面积为π×（1/2）²-π/8 = π/8（m^2).设圆锥地面圆的半径为r m，则2πr= √2/4 π,所以r=√2/8(m).答：被剪掉的部分的面积为π/8 m²,圆锥底面圆的半径是√2/8m.
