向量平行与垂直的公式是什么？

在数学领域中，向量是一个核心概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个学科。向量之间的关系，尤其是平行与垂直关系，对于理解空间结构、解决实际问题具有重要意义。向量平行与垂直的判定和计算，依赖于特定的数学公式。本文将从定义出发，逐步深入探讨向量平行与垂直的公式，并通过几何意义和坐标表示两个维度进行详细解析。

向量基础

向量是一个具有大小和方向的量，通常用带有箭头的线段表示。在数学上，向量$\vec{a}$可以由其起点$A$和终点$B$表示为$\overrightarrow{AB}$，或者简单地用有序数组$(a_1, a_2, ..., a_n)$表示，其中$n$是向量的维数。在二维平面上，向量表示为$(a, b)$；在三维空间中，向量表示为$(a, b, c)$。

向量平行的定义与公式

定义

如果两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$方向相同或相反，且大小可以不同，则称这两个向量平行。平行向量的一个重要性质是，一个向量可以表示为另一个向量的标量倍，即存在实数$k$，使得$\vec{a} = k\vec{b}$。

几何意义

在几何上，两个向量平行的直观表现是，它们所在的直线平行或重合。若将两向量首尾相接绘制于同一平面或空间中，可以发现它们的方向向量成比例。

坐标表示与公式

对于二维向量$\vec{a} = (a_1, a_2)$和$\vec{b} = (b_1, b_2)$，若$\vec{a}$与$\vec{b}$平行，则存在实数$k$，使得$a_1 = kb_1$且$a_2 = kb_2$。这等价于说，向量的对应分量成比例，即$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$（假设$b_1 \neq 0$且$b_2 \neq 0$）。特别地，当$k = -1$时，两向量方向相反。

在三维空间中，向量平行的条件类似，即$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$与$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$平行，当且仅当$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$（同样假设分母不为零）。

向量垂直的定义与公式

定义

如果两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$满足$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，则称这两个向量垂直。这里的点乘（或称为内积）定义为$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$，其中$n$是向量的维数。

几何意义

在几何上，向量垂直的直观表现是，它们所在的直线互相垂直。对于二维平面上的向量，垂直即意味着一个向量与另一个向量形成的角为$90^\circ$。在三维空间中，垂直关系同样适用于任意两个向量，即使它们不在同一平面上。

坐标表示与公式

对于二维向量$\vec{a} = (a_1, a_2)$和$\vec{b} = (b_1, b_2)$，它们垂直的条件是$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，即$a_1b_1 + a_2b_2 = 0$。这一公式简洁地表达了二维向量垂直的充分必要条件。

在三维空间中，向量$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$与$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$垂直的条件同样为$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，即$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$。这一公式在三维空间中同样适用，是判断两个向量是否垂直的通用方法。

应用实例

平面上的向量关系

考虑二维平面上两个向量$\vec{u} = (2, 3)$和$\vec{v} = (4, 6)$。首先判断它们是否平行。计算比例$\frac{u_1}{v_1} = \frac{